无穷级数
你可以计算出几何级数前 n 项的和。当 n 趋向于无穷大时，级数的和称为无穷级数的和。考虑几何级数 \( 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots \) 前 n 项的和。这个级数的项越来越大，所以当 n 趋向于无穷大时，\( S_n \) 也趋向于无穷大。这称为发散级数。
现在考虑几何级数 \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \) 前 n 项的和。这个级数的项越来越小。当 n 趋向于无穷大时，\( S_n \) 越来越接近一个有限值 \( S_{\infty} \)。这称为收敛级数。
无穷级数：当 n 趋向于无穷大时，几何级数前 n 项的和的极限值。
几何级数收敛的条件：
几何级数收敛当且仅当 \( |r| < 1 \)，其中 r 是公比。
你也可以将这个条件写成 \( -1 < r < 1 \)。
无穷级数求和公式：\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \)
其中：a 是首项，r 是公比，且 |r| < 1
题目：几何级数的第4项是1.08，第7项是0.23328。
a) 证明这个级数是收敛的。
b) 求级数的无穷和。
解答：
a) \( ar^3 = 1.08 \) ... (1)
\( ar^6 = 0.23328 \) ... (2)
方程(2)除以方程(1)：
\( \frac{ar^6}{ar^3} = \frac{0.23328}{1.08} \)
\( r^3 = 0.216 \)
\( r = 0.6 \)
级数是收敛的，因为 \( |r| = 0.6 < 1 \)。
b) 将 \( r^3 = 0.216 \) 代入方程(1)求 a：
\( 0.216a = 1.08 \)
\( a = \frac{1.08}{0.216} = 5 \)
代入无穷和公式：
\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{5}{1-0.6} = \frac{5}{0.4} = 12.5 \)
题目：几何级数的首项是 a，公比是 r，\( S_4 = 15 \) 且 \( S_{\infty} = 16 \)。
a) 求 r 的可能值。
b) 给定级数中所有项都是正数，求 a 的值。
解答：
a) \( S_4 = 15 \)，所以使用公式 \( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \)，其中 n = 4。
\( S_{\infty} = 16 \)，所以使用公式 \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \)，其中 \( S_{\infty} = 16 \)。
联立求解：
\( \frac{a(1-r^4)}{1-r} = 15 \) ... (1)
\( \frac{a}{1-r} = 16 \) ... (2)
将方程(1)中的 \( \frac{a}{1-r} \) 用16替换：
\( 16(1-r^4) = 15 \)
\( 1-r^4 = \frac{15}{16} \)
\( r^4 = \frac{1}{16} \)
\( r = \pm\frac{1}{2} \)
b) 因为所有项都是正数，\( r = +\frac{1}{2} \)
\( \frac{a}{1-\frac{1}{2}} = 16 \)
\( \frac{a}{\frac{1}{2}} = 16 \)
\( 2a = 16 \)
\( a = 8 \)
级数的首项是8。
题目：求等于循环小数 0.23 的分数。
解答：
\( 0.23 = \frac{23}{100} + \frac{23}{10000} + \frac{23}{1000000} + \ldots \)
这是一个首项 \( a = \frac{23}{100} \)，公比 \( r = \frac{1}{100} \) 的几何级数。
因为 \( |r| = \frac{1}{100} < 1 \)，级数收敛。
\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \frac{\frac{23}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{23}{99} \)
所以 \( 0.23 = \frac{23}{99} \)
题目：几何级数 \( a + ar + ar^2 + \ldots \)，\( S_3 = 9 \) 且 \( S_{\infty} = 8 \)，求 a 和 r 的值。
解答：
\( S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = 9 \) ... (1)
\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 8 \) ... (2)
从方程(2)：\( a = 8(1-r) \)
代入方程(1)：
\( \frac{8(1-r)(1-r^3)}{1-r} = 9 \)
\( 8(1-r^3) = 9 \)
\( 1-r^3 = \frac{9}{8} \)
\( r^3 = 1-\frac{9}{8} = -\frac{1}{8} \)
\( r = -\frac{1}{2} \)
\( a = 8(1-(-\frac{1}{2})) = 8 \times \frac{3}{2} = 12 \)
在求解无穷级数问题时，首先要判断级数是否收敛。只有当 \( |r| < 1 \) 时，才能使用无穷级数求和公式。对于发散级数，不存在有限的无穷和。
通过本节的学习，你应该能够：